De lo concreto a lo abstracto en las matemáticas

La mayoría de los investigadores que hacen matemáticas (puras y aplicadas), sin darse cuenta, se inclinan por una filosofía idealista.

-Por Dr. Romeo Pérez Ortiz

2018-11-12
Ciudad de México

La mayoría de los investigadores que hacen matemáticas (puras y aplicadas), sin darse cuenta, se inclinan por una filosofía idealista. La lista de aquellos matemáticos, comenzando desde Platón es larga. A manera de ejemplo, mencionaré a los reconocidos matemáticos franceses: Charles Hermite y Henri Poincaré, y al matemático alemán David Hilbert. El primero planteaba que a los matemáticos, a veces, se les concedía la virtud de descubrir la armonía del mundo matemático existente, independientemente de la razón humana; el segundo negaba la existencia de la realidad objetiva; para él, lo único existente eran las sensaciones. En su obra El valor de la ciencia, en la sección objetivo de la ciencia, escribía que las cosas eran un grupo de sensaciones; el tercero puso de manifiesto que tanto la matemática como la física podían construirse únicamente sobre la base de los axiomas. Sus investigaciones axiomáticas yacen en su concepción de la geometría, en particular en su obra Fundamentos de la Geometría (1899). Las opiniones de aquellos genios de las matemáticas han contribuido a considerar a la matemática independiente de la realidad, ajena y alejada de ella. Que el mundo material debe disponer de la matemática (lo cual, en parte, es cierto), pero han olvidado por completo que ésta ha nacido de aquél.

Al estudio del desarrollo histórico de las matemáticas, se debe recurrir, en última instancia, si se quiere combatir aquellas opiniones idealistas. En efecto, la historia ha demostrado que las matemáticas nacieron de problemas concretos, de las necesidades prácticas de los hombres por medir sus tierras, de conocer las capacidades de los recipientes, de medir el tiempo para conocer el momento exacto de siembra, de construir ductos para poder regar una siembra en tiempos de sequía, de diseñar ruedas de carro, etc. Se sabe, por ejemplo, que los primeros conocimientos matemáticos tuvieron un carácter experimental como puede comprobarse en las tablillas y papiros de los antiguos pobladores. El papiro de Ahmes, el más antiguo sobre los números, contiene, por ejemplo, cálculos y fórmulas que solucionaban problemas de la vida cotidiana de los agricultores, constructores y comerciantes.

Heródoto de Halicarnaso, escritor del siglo V antes de nuestra época, en sus Nueve libros de la Historia, describe puntualmente la necesidad que tenían los egipcios de medir sus campos inundados constantemente por el desborde del río Nilo, que duraba hasta cien días. Lo hacían o bien para demandar una reducción de impuestos o bien para restablecer los límites de sus propiedades, como sostiene el filósofo Proclus en su Comentario sobre el primer libro de los Elementos de Euclides. Él sostiene que el descubrimiento de la geometría se debió a la práctica de la medición de la Tierra. Y así, al igual que el conocimiento preciso de los números se originó con los fenicios a través del comercio. El descubrimiento del número se lo debemos también a los babilonios, hombres observadores y atentos de los fenómenos celestes, como lo muestra su escritura cuneiforme.

Las matemáticas, en efecto, surgen de las necesidades prácticas del hombre, de su necesidad de comercializar, construir, pintar, etc. Por ejemplo, a medida que se extendía el comercio exterior de Inglaterra, y junto con ello su poderío colonial, se agudizaron sus  pérdidas y riesgos comerciales; fue necesario, entonces, crear una teoría matemática que ayudara a comprender estos fenómenos; así surgió la teoría matemática de las probabilidades. Pierre de Fermat, Blaise Pascal y Christiaan Huygens fueron los fundadores de esa teoría. La creación de las series de Fourier, en honor al matemático francés Jean-Baptiste Josep Fourier (1768-1830) respondió a la necesidad de estudiar los fenómenos térmicos para perfeccionar las máquinas de vapor; la ciencia física surge en la Edad Moderna con Galileo Galilei, para responder a las necesidades prácticas de la naciente industria; el surgimiento del cálculo infinitesimal tampoco es ajena a la necesidad de construir nuevas máquinas útiles, así como los grandes descubrimientos marítimos del siglo XV y XVI que contribuyeron al desarrollo de la trigonometría (ver Filosofía de la Praxis de Adolfo Sánchez Vázquez, en la sección la ciencia y producción). La Teoría analítica del calor, del matemático Fourier, se crea y desarrolla debido a la necesidad de la difusión del calor como una forma de energía útil en la producción industrial. La necesidad del análisis de señales y sistemas, así como de  circuitos eléctricos excitados por fuentes de corriente alterna, hizo que surgiera lo que conocemos actualmente como el Análisis Complejo.

El dibujo de croquis y planos, sobre todo de planos de fortificaciones, a finales del siglo XVIII, llevó al matemático francés Gaspard Monge (1746-1818) a la creación de la geometría descriptiva. La necesidad de representar la naturaleza con más exactitud, reflejar la arquitectura de una ciudad, expresar de forma plástica la vida de los hombres, su pobreza, su alegría, su sufrimiento de un determinado tiempo y espacio, obligó al geómetra y arquitecto francés Gérard Desargues (1591-1661) y al matemático e ingeniero francés Jean-Victor Poncelet (1788-1867) a crear y desarrollar la teoría de la perspectiva y la proyectividad conocido actualmente como la Geometría Proyectiva.

El estudio de la naturaleza de la música, que comienza con los pitagóricos, dio origen a la teoría del Análisis Armónico. Ellos afirmaban que la armonía se explicaba mediante números, que un sonido es armonioso o agradable de oír cuando el radio de la longitud de una cuerda es un número entero. Lo cierto es que fue hasta principios del siglo XVIII, cuando el matemático inglés Brook Taylor (1685-1731) en su obra Métodos de los incrementos, logró describir en definitiva el movimiento de una cuerda tensa y estableció, además, el tiempo de vibración a base de la longitud y el peso de la cuerda, y la fuerza que la tensa.

Las matemáticas en la época de Federico el Grande, tercer rey de Prusia, Catalina la Grande, emperatriz rusa, Luis XV y Luis XVI, ambos reyes de Francia, se desarrollaron, precisamente, por la necesidad de desarrollar las manufacturas y aumentar la eficiencia en la guerra. Se sabe que el éxito de la armada francesa se debió al hecho de que en la construcción de fragatas y barcos de línea, los maestros constructores de buques eran dirigidos, además, por la teoría matemática. En los trabajos de Leonardo Euler (1707-1783) se pueden encontrar muchas aplicaciones que sirvieron al ejército y la armada (ver Historia concisa de las matemáticas de Dirk Jan Struik).

El desarrollo técnico y tecnológico asociado con la industria del carbón y la máquina de vapor, y el desarrollo del comercio y de procesos contables bancarios contribuyeron al nacimiento del cálculo infinitesimal. Así, por ejemplo, la necesidad de calcular la velocidad de un cuerpo teniendo en cuenta la distancia de su recorrido en un tiempo infinitesimalmente pequeño dio origen al Cálculo Diferencial. El comercio ayudó a Fermat a desarrollar la teoría de los máximos y mínimos. La medida de las longitudes, de las superficies y de los volúmenes guio a Bonaventura Cavalieri (1598-1647) a efectuar la suma de la infinidad de indivisibles dando inicio a los procedimientos infinitesimales a los que Leibniz y Newton dieron un algoritmo general para procesos de cálculo de tangentes (derivación) y cuadraturas (integración).

Bastan estos casos para demostrar que las matemáticas nacen de las necesidades de los hombres y son el resultado de una prolongada evolución histórica. Pero las matemáticas, al llegar a un cierto nivel de evolución, se separan del mundo material del que nacieron, se  contraponen a él como algo independiente, como si fueran leyes que le llegaran de afuera y según las cuales tiene que disponerse aquel. Así ha ocurrido en la sociedad y en el estado, escribe Federico Engels en su obra Anti-Düring, y así precisamente, la matemática “pura” es aplicada, aunque haya sido tomada sencillamente de ese mundo material y no represente más que una parte de las formas de conexión del mismo, única razón por la cual es aplicable. Es necesario y urgente, pues, darle otro enfoque al estudio de las matemáticas, el enfoque histórico y dialéctico del materialismo.