Crecimiento exponencial
Jenaro Rodríguez Velasco

Todos hemos escuchado en alguna ocasión que una cosa crece de manera constante y que a medida que avanza el tiempo lo que se observa es una cantidad proporcionalmente cada vez más grande; nos referimos a esto como un crecimiento exponencial. Si una cantidad de dinero genera el 9 por ciento de interés anual, si el tamaño de una población aumenta 10 por ciento al año, si el consumo de energía de un país se incrementa 7 por ciento anual, ellos son ejemplos de crecimiento exponencial.

Si representamos por C una cantidad que crece en un tiempo t, su tamaño en el futuro depende del tamaño presente que representaremos por Co; esta dependencia se representa en matemáticas por la función exponencial: C = Co℮kt , donde ℮ = 2.718 es la base de los logaritmos naturales (recordemos que un logaritmo no es otra cosa más que el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número; si la base fuera 10 tendríamos logaritmos decimales) y k es el porcentaje de la rapidez de crecimiento, P dividido entre 100 (tasa de interés):        k = P/100

Obsérvese que si k es positivo, C aumenta exponencialmente con el tiempo (crecimiento exponencial). Si k es negativo, C disminuye exponencialmente con el tiempo (decaimiento exponencial). Ejemplo de este último es el decaimiento radiactivo (cuando un átomo más pesado que el plomo emite electrones y neutrones); a este fenómeno se le llama radiactividad natural, formándose átomos más ligeros.
Suponga que se encuentra tirado en la calle un billete de $20, decide no gastárselo y lo invierte en una cuenta bancaria al 9 por ciento anual de interés que debe ser compuesto continuamente. ¿Cuánto dinero tendrá usted en 100 años?

 Si Co = $20, k = 9/100 = 0.09 por año y t = 100 años, entonces,   C = $20 x ℮ (0.09 x 100) = $20 x ℮ 9 = $20 x 8103.08 = $162,061.68.

 ¡El interés compuesto debiera ser una de las nuevas siete maravillas del mundo!

Antes, el dinero que se depositaba, incluso en una cuenta de ahorros, generaba algún interés, ya no se diga el que se depositaba a un determinado plazo fijo, que obtenía un interés compuesto continuamente. Ocurrió hace algunos años que un cuentahabiente no retiró unos cientos de pesos, y al ir a retirar su dinero resultó dueño del Banco del Atlántico (después Bital).

 Ahora, todos los bancos, en mayor o menor medida, tratan de recortar el dinero que deben recibir los inversionistas (sobre todo los pequeños) como interés, mediante diversas “comisiones”, por manejo de cuenta, por tarjeta de crédito, por expedición de cheques, etc., llegando al extremo de no permitir que una cuenta quede en ceros o sea que no puede “sacar” todo su dinero para que el banco siga cobrando comisiones.

No ocurre lo mismo con los créditos que un banco le otorga, ya sea un crédito directo o mediante una tarjeta, pues ahí sí opera el interés compuesto continuamente sin restricción, llegando al extremo de cobrar hasta el 50 por ciento.

Podemos también calcular el tiempo de doblado, es decir, el tiempo que se requiere para la cantidad Co duplique su monto:  

C = Co℮kt, donde t ≈ 69.315/9 ≈ 7.7 años.

En la publicidad de un banco, en un periódico, se anuncia “9.52 por ciento  anual de rendimiento”, lo cual corresponde a una tasa de 9.1 por ciento de interés compuesto continuo en un año que da el mismo rendimiento que la tasa de 9.52 compuesto una sola vez. En otras palabras: ℮ 0.091x1 = 1.09527.

Los banqueros, como dueños del dinero, tienen como único fin agrandar su capital; de ninguna manera permitirán que los pobres se queden con una parte, por pequeña que ésta sea.